Nació el 11 de diciembre de 1922 en la aldea de Bolshoy Uzhin, distrito de Staraya Russa, ahora óblast de Nóvgorod, en el seno de una familia campesina. Ingresó en la Armada soviética (VMF) en 1940 y se graduó de la Escuela de Aviación Naval de Yeysk en 1943. Desde agosto de 1943, sirvió en el ejército activo.
Hazañas en la Gran Guerra Patria
Como teniente y piloto del 51º Regimiento de Aviación de Minas y Torpedos, 8ª División de Aviación de Minas y Torpedos de la Fuerza Aérea de la Flota del Báltico, Bogachov hundió un transporte enemigo de 12.000 toneladas de desplazamiento el 12 de octubre de 1944, durante un vuelo de crucero. Un transporte de tal tamaño podía llevar más de 6.000 toneladas de carga o 200 tanques medianos en un solo viaje.
En total, el aviador torpedeó y hundió tres transportes en rutas de comunicación lejanas en el mar Báltico, con un desplazamiento total de 24.000 toneladas. Por sus servicios, el 6 de marzo de 1945, A. A. Bogachov fue galardonado con el título de Héroe de la Unión Soviética. Su regimiento recibió el nombre de Regimiento de Tallin y libró batallas en los accesos a los puertos de Liepāja, Ventspils, Klaipėda, Gdansk y Baltiysk.
Vida Postguerra y Reconocimientos
Desde 1950, el teniente superior Bogachov pasó a la reserva. Fue condecorado con la Orden de Lenin, cuatro Órdenes de la Bandera Roja, la Orden de la Guerra Patria, la Orden de la Estrella Roja y varias medallas. Falleció el 12 de agosto de 1978 y fue enterrado en la ciudad de Petrodvorets, óblast de Leningrado.